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沈阳2017中考数学一模试卷及答案解析

2017-4-9 17教育网


中考在即,各位考生你们准备好了么?下面是小编给大家整理的2017年中考数学模拟试卷供大家参考。


 


2017年中考数学一模试卷



一、选择题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.4的倒数是(  )

A.4      B.﹣4  C.     D.﹣

2.下列运算正确的是(  )

A.(a﹣3)2=a2﹣9  B.a2•a4=a8 C. =±3       D. =﹣2

3.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )

A.x≥1       B.x≤1       C.x>0       D.x>1

4.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
























 

平均数(cm)

185

180

185

180

方差

3.6

3.6

7.4

8.1


根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择(  )

A.甲    B.乙    C.丙    D.丁

5.如图,已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2,扇形的弧长为10πcm,则圆锥母线长是(  )



A.5cm B.10cm      C.12cm      D.13cm

6.下列语句正确的是(  )

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.矩形的对角线相等

C.有两边及一角对应相等的两个三角形全等

D.平行四边形是轴对称图形

7.下列说法中,你认为正确的是(  )

A.四边形具有稳定性

B.等边三角形是中心对称图形

C.等腰梯形的对角线一定互相垂直

D.任意多边形的外角和是360°

8.有9名同学参加歌咏比赛,他们的预赛成绩各不相同,现取其中前4名参加决赛,小红同学在知道自己成绩的情况下,要判断自己能否进入决赛,还需要知道这9名同学成绩的(  )

A.众数       B.中位数   C.平均数   D.极差

9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是(  )



A.  B.  C.  D.

10.如图,A、B、C是反比例函数y=(x<0)图象上三点,作直线l,使A、B、C到直线l的距离之比为3:1:1,则满足条件的直线l共有(  )



A.4条 B.3条 C.2条 D.1条



二、填空题:(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程.)

11.方程=1的根是x=  

12.已知圆锥的底面半径是2,母线长是4,则圆锥的侧面积是  

13.如图,△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC的面积之比为  



14.一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是  

15.如图,点O是⊙O的圆心,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=38°,则∠OAC的度数是  度.



16.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1m,则旗杆高BC为  m(结果保留根号).



17.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,b)为第一象限内一点,且a<b.连结OA,并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上,则的值等于  



18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是  





三、解答题:(本大题共8小题,共84分.)

19.计算:

(1)|﹣2|﹣(1+)0+

(2)(a﹣)÷

20.(1)解方程: +=4.

(2)解不等式组:

21.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD,相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,求证:AE=CF.



22.某学校为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试,测试结果分为A、B、C、D四个等级,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:

(1)求本次测试共调查了多少名学生?

(2)求本次测试结果为B等级的学生数,并补全条形统计图;

(3)若该中学八年级共有900名学生,请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人?

23.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A、B两点的距离.



24.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.

(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?

(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?

25.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;

(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.



26.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,如图为点P,Q的“相关矩形”示意图.

(1)已知点A的坐标为(1,0),

①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;

②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;

(2)⊙O的半径为,点M的坐标为(m,3),若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.






2017年中考数学一模试卷

参考答案与试题解析



一、选择题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.4的倒数是(  )

A.4      B.﹣4  C.     D.﹣

【考点】倒数.

【分析】乘积是1的两数互为倒数,据此进行计算即可.

【解答】解:由题可得,4的倒数是

故选:C.



2.下列运算正确的是(  )

A.(a﹣3)2=a2﹣9  B.a2•a4=a8 C. =±3       D. =﹣2

【考点】同底数幂的乘法;算术平方根;立方根;完全平方公式.

【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项.

【解答】解:A、(a﹣3)2=a2﹣6a+9,故错误;

B、a2•a4=a6,故错误;

C、=3,故错误;

D、=﹣2,故正确,

故选D.



3.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )

A.x≥1       B.x≤1       C.x>0       D.x>1

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,解不等式即可.

【解答】解:根据题意得:x﹣1≥0,即x≥1时,二次根式有意义.

故选:A.



4.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
























 

平均数(cm)

185

180

185

180

方差

3.6

3.6

7.4

8.1


根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择(  )

A.甲    B.乙    C.丙    D.丁

【考点】方差;算术平均数.

【分析】首先比较平均数,平均数相同时选择方差较小的运动员参加.

【解答】解:∵==

∴从甲和丙中选择一人参加比赛,

=

∴选择甲参赛,

故选:A.



5.如图,已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2,扇形的弧长为10πcm,则圆锥母线长是(  )



A.5cm B.10cm      C.12cm      D.13cm

【考点】圆锥的计算.

【分析】圆锥的侧面积=,把相应数值代入即可求解.

【解答】解:设母线长为R,由题意得:65π=,解得R=13cm.

故选D.



6.下列语句正确的是(  )

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.矩形的对角线相等

C.有两边及一角对应相等的两个三角形全等

D.平行四边形是轴对称图形

【考点】菱形的判定;全等三角形的判定;轴对称图形.

【分析】由菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的性质分别进行判断,即可得出结论.

【解答】解:A、对角线互相垂直的四边形是菱形,不正确;

B、矩形的对角线相等,正确;

C、有两边及一角对应相等的两个三角形全等,不正确;

D、平行四边形是轴对称图形,不正确;

故选:B.



7.下列说法中,你认为正确的是(  )

A.四边形具有稳定性

B.等边三角形是中心对称图形

C.等腰梯形的对角线一定互相垂直

D.任意多边形的外角和是360°

【考点】多边形内角与外角;等边三角形的性质;多边形;等腰梯形的性质.

【分析】根据四边形、等边三角形,等腰梯形的性质,结合各选项进行判断即可.

【解答】解:A、四边形不具有稳定性,原说法错误,故本选项错误;

B、等边三角形不是中心对称图形,说法错误,故本选项错误;

C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直,说法错误,故本选项错误;

D、任意多边形的外角和是360°,说法正确,故本选项正确;

故选D.



8.有9名同学参加歌咏比赛,他们的预赛成绩各不相同,现取其中前4名参加决赛,小红同学在知道自己成绩的情况下,要判断自己能否进入决赛,还需要知道这9名同学成绩的(  )

A.众数       B.中位数   C.平均数   D.极差

【考点】统计量的选择.

【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前4名,只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数,比较即可.

【解答】解:由于总共有9个人,且他们的分数互不相同,第5的成绩是中位数,要判断是否进入前5名,故应知道中位数的多少.

故选B.



9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是(  )



A.  B.  C.  D.

【考点】解直角三角形.

【分析】设BC=x,由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x,求出AB=BC=x,根据题意得出AD=BC=x,AE=DE=AB=x,作EM⊥AD于M,由等腰三角形的性质得出AM=AD=x,在Rt△AEM中,由三角函数的定义即可得出结果.

【解答】解:如图所示:设BC=x,

∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,

∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,

根据题意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,

作EM⊥AD于M,则AM=AD=x,

在Rt△AEM中,cos∠EAD===

故选:B.





10.如图,A、B、C是反比例函数y=(x<0)图象上三点,作直线l,使A、B、C到直线l的距离之比为3:1:1,则满足条件的直线l共有(  )



A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

【考点】反比例函数的性质.

【分析】如解答图所示,满足条件的直线有两种可能:一种是与直线BC平行,符合条件的有两条,如图中的直线a、b;还有一种是过线段BC的中点,符合条件的有两条,如图中的直线c、d.

【解答】解:如解答图所示,满足条件的直线有4条,

故选A.




 

二、填空题:(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程.)

11.方程=1的根是x= ﹣2 

【考点】分式方程的解.

【分析】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解,再代入x﹣3进行检验即可.

【解答】解:两边都乘以x﹣3,得:2x﹣1=x﹣3,

解得:x=﹣2,

检验:当x=﹣2时,x﹣3=﹣5≠0,

故方程的解为x=﹣2,

故答案为:﹣2.

 

12.已知圆锥的底面半径是2,母线长是4,则圆锥的侧面积是  

【考点】圆锥的计算.

【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2.

【解答】解:底面半径是2,则底面周长=4π,圆锥的侧面积=×4π×4=8π.

 

13.如图,△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC的面积之比为 19 



【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】由DE与BC平行,得到两对同位角相等,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似,利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果.

【解答】解:∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,

∴△ADE∽△ABC,

∴S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2=1:9,

故答案为:1:9.

 

14.一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是 ﹣2 

【考点】根与系数的关系.

【分析】根据根与系数的关系,即可求得答案.

【解答】解:设一元二次方程x2+x﹣2=0的两根分别为α,β,

∴αβ=﹣2.

∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2.

故答案为:﹣2.

 

15.如图,点O是⊙O的圆心,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=38°,则∠OAC的度数是 19 度.



【考点】圆周角定理.

【分析】先根据圆周角定理,求出∠C的度数,再根据两条直线平行,内错角相等,得∠OAC=∠C.

【解答】解:∵∠AOB=38°

∴∠C=38°÷2=19°

∵AO∥BC

∴∠OAC=∠C=19°.

 

16.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1m,则旗杆高BC为 10+1 m(结果保留根号).



【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.

【分析】首先过点A作AE∥DC,交BC于点E,则AE=CD=10m,CE=AD=1m,然后在Rt△BAE中,∠BAE=60°,然后由三角形函数的知识求得BE的长,继而求得答案.

【解答】解:如图,过点A作AE∥DC,交BC于点E,则AE=CD=10m,CE=AD=1m,

∵在Rt△BAE中,∠BAE=60°,

∴BE=AE•tan60°=10(m),

∴BC=CE+BE=10+1(m).

∴旗杆高BC为10+1m.

故答案为:10+1.



 

17.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,b)为第一象限内一点,且a<b.连结OA,并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上,则的值等于  



【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化﹣旋转.

【分析】过A作AE⊥x轴,过B作BD⊥AE,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,且AO=AB,利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等,由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=b,AD=OE=a,进而表示出ED及OE+BD的长,即可表示出B坐标;由A与B都在反比例图象上,得到A与B横纵坐标乘积相等,列出关系式,变形后即可求出的值.

【解答】解:过A作AE⊥x轴,过B作BD⊥AE,

∵∠OAB=90°,

∴∠OAE+∠BAD=90°,

∵∠AOE+∠OAE=90°,

∴∠BAD=∠AOE,

在△AOE和△BAD中,



∴△AOE≌△BAD(AAS),

∴AE=BD=b,OE=AD=a,

∴DE=AE﹣AD=b﹣a,OE+BD=a+b,

则B(a+b,b﹣a);

∵A与B都在反比例图象上,得到ab=(a+b)(b﹣a),

整理得:b2﹣a2=ab,即()2﹣﹣1=0,

∵△=1+4=5,

=

∵点A(a,b)为第一象限内一点,

∴a>0,b>0,

=

故答案为



 

18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 1.2 



【考点】翻折变换(折叠问题).

【分析】如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小,利用△AFM∽△ABC,得到=求出FM即可解决问题.

【解答】解:如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小.(点P在以F为圆心CF为半径的圆上,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小)



∵∠A=∠A,∠AMF=∠C=90°,

∴△AFM∽△ABC,

=

∵CF=2,AC=6,BC=8,

∴AF=4,AB==10,

=

∴FM=3.2,

∵PF=CF=2,

∴PM=1.2

∴点P到边AB距离的最小值是1.2.

故答案为1.2.

 

三、解答题:(本大题共8小题,共84分.)

19.计算:

(1)|﹣2|﹣(1+)0+

(2)(a﹣)÷

【考点】分式的混合运算;绝对值;算术平方根;零指数幂.

【分析】按照实数的运算法则依次计算,注意负指数为正指数的倒数;任何非0数的0次幂等于1.

【解答】解:(1)原式=2﹣1+2=3.

(2)原式=

 

20.(1)解方程: +=4.

(2)解不等式组:

【考点】解分式方程;解一元一次不等式组.

【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解;

(2)首先解每个不等式,两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集.

【解答】解:(1)去分母得:x﹣5x=4(2x﹣3),

解得:x=1,

经检验x=1是分式方程无解;

(2)

∵由①得,x<2,

由②得,x≥﹣1,

∴不等式组的解集是:﹣1≤x<2.

 

21.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD,相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,求证:AE=CF.



【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.

【分析】由四边形ABCD是平行四边形,可得AB∥CD,OA=OC,继而证得△AOE≌△COF,则可证得结论.

【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,OA=OC,

∴∠OAE=∠OCF,

在△OAE和△OCF中,



∴△AOE≌△COF(ASA),

∴AE=CF.

 

22.某学校为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试,测试结果分为A、B、C、D四个等级,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:

(1)求本次测试共调查了多少名学生?

(2)求本次测试结果为B等级的学生数,并补全条形统计图;

(3)若该中学八年级共有900名学生,请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人?

【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.

【分析】(1)设本次测试共调查了x名学生,根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即可解决.

(2)用总数减去A、C、D中的人数,即可解决,画出条形图即可.

(3)用样本估计总体的思想解决问题.

【解答】解:(1)设本次测试共调查了x名学生.

由题意x•20%=10,

x=50.

∴本次测试共调查了50名学生.

(2)测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人.

条形统计图如图所示,



(3)∵本次测试等级为D所占的百分比为=12%,

∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人.

 

23.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A、B两点的距离.



【考点】解直角三角形的应用.

【分析】根据题意作出合适的辅助线,画出相应的图形,可以分别求得CM、DN的长,由于AB=CN﹣CM,从而可以求得AB的长.

【解答】解:作AM⊥EF于点M,作BN⊥EF于点N,如右图所示,

由题意可得,AM=BN=60米,CD=100米,∠ACF=45°,∠BDF=60°,

∴CM=米,

DN=米,

∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=(40+20)米,

即A、B两点的距离是(40+20)米.



 

24.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.

(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?

(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?

【考点】一元二次方程的应用;分式方程的应用.

【分析】(1)设每台B种空气净化器为x元,A种净化器为(x+300)元,根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同,列方程求解;

(2)根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可.

【解答】解:(1)设每台B型空气净化器为x元,A型净化器为(x+300)元,

由题意得, =

解得:x=1200,

经检验x=1200是原方程的根,

则x+300=1500,

答:每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元,1500元;


(2)设B型空气净化器的售价为x元,根据题意得;(x﹣1200)(4+)=3200,

解得:x=1600,

答:如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元.



25.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;

(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.



【考点】二次函数综合题.

【分析】方法一:

(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得.

(2)通过△AOC∽△CFB求得OC的值,通过△OCD≌△FCB得出DC=CB,∠OCD=∠FCB,然后得出结论.

(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,求得与抛物线的交点E的坐标,然后通过解三角函数求得结果.

方法二:

(1)略.

(2)利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B’坐标,并得出B’与点D重合.

(3)分别求出点A,C,E,D坐标,并证明直线ED与AC斜率相等.

【解答】方法一:

解:(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式,得=a×22﹣2a﹣a,

解得a=

∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣


(2)连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°,

∴∠ACO+∠BCF=90°,

∴∠ACO=∠CBF,

∵∠AOC=∠CFB=90°,

∴△AOC∽△CFB,

=

设OC=m,则CF=2﹣m,则有=

解得m1=m2=1,

∴OC=CF=1,

当x=0时,y=﹣

∴OD=

∴BF=OD,

∵∠DOC=∠BFC=90°,

∴△OCD≌△FCB,

∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,

∴点B、C、D在同一直线上,

∴点B与点D关于直线AC对称,

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上.


(3)过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则

解得k=﹣

∴y=﹣x+,代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣

解得x=2或x=﹣2,

当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×(﹣2)+=

∴点E的坐标为(﹣2,),

∵tan∠EDG===

∴∠EDG=30°

∵tan∠OAC===

∴∠OAC=30°,

∴∠OAC=∠EDG,

∴ED∥AC.

方法二:

(1)略.

(2)设C点坐标为(t,0),B点关于直线AC的对称点为B′,

∵∠ACB=90°,

∴AC⊥BC,

∴KAC×KBC=﹣1,

∵OA=,∴A(0,),B(2,),C(t,0),

=﹣1,

∴t(t﹣2)=﹣1,

∴t=1,C(1,0),



∴B′x=0,B′Y=﹣

∴B关于直线AC的对称点即为点D.


(3)∵A(0,),B(2,),



解得:x1=2(舍),x2=﹣2,

∴E(﹣2,),D(0,﹣),A(0,),C(1,0),

∴KED=,KAC=

∴KED=KAC,

∴ED∥AC.





26.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,如图为点P,Q的“相关矩形”示意图.

(1)已知点A的坐标为(1,0),

①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;

②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;

(2)⊙O的半径为,点M的坐标为(m,3),若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.



【考点】圆的综合题.

【分析】(1)①由相关矩形的定义可知:要求A与B的相关矩形面积,则AB必为对角线,利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度,进而可求出该矩形的面积;

②由定义可知,AC必为正方形的对角线,所以AC与x轴的夹角必为45,设直线AC的解析式为;y=kx+b,由此可知k=±1,再(1,0)代入y=kx+b,即可求出b的值;

(2)由定义可知,MN必为相关矩形的对角线,若该相关矩形的为正方形,即直线MN与x轴的夹角为45°,由因为点N在圆O上,所以该直线MN与圆O一定要有交点,由此可以求出m的范围.

【解答】解:(1)①∵A(1,0),B(3,1)

由定义可知:点A,B的“相关矩形”的底与高分别为2和1,

∴点A,B的“相关矩形”的面积为2×1=2;

②由定义可知:AC是点A,C的“相关矩形”的对角线,

又∵点A,C的“相关矩形”为正方形

∴直线AC与x轴的夹角为45°,

设直线AC的解析为:y=x+m或y=﹣x+n

把(1,0)分别y=x+m,

∴m=﹣1,

∴直线AC的解析为:y=x﹣1,

把(1,0)代入y=﹣x+n,

∴n=1,

∴y=﹣x+1,

综上所述,若点A,C的“相关矩形”为正方形,直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1;

(2)设直线MN的解析式为y=kx+b,

∵点M,N的“相关矩形”为正方形,

∴由定义可知:直线MN与x轴的夹角为45°,

∴k=±1,

∵点N在⊙O上,

∴当直线MN与⊙O有交点时,点M,N的“相关矩形”为正方形,

当k=1时,

作⊙O的切线AD和BC,且与直线MN平行,

其中A、C为⊙O的切点,直线AD与y轴交于点D,直线BC与y轴交于点B,

连接OA,OC,

把M(m,3)代入y=x+b,

∴b=3﹣m,

∴直线MN的解析式为:y=x+3﹣m

∵∠ADO=45°,∠OAD=90°,

∴OD=OA=2,

∴D(0,2)

同理可得:B(0,﹣2),

∴令x=0代入y=x+3﹣m,

∴y=3﹣m,

∴﹣2≤3﹣m≤2,

∴1≤m≤5,

当k=﹣1时,把M(m,3)代入y=﹣x+b,

∴b=3+m,

∴直线MN的解析式为:y=﹣x+3+m,

同理可得:﹣2≤3+m≤2,

∴﹣5≤m≤﹣1;

综上所述,当点M,N的“相关矩形”为正方形时,m的取值范围是:1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1




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