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(2016金华)在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(-6,0).如图1,正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上

2016-6-13 编辑:djw
(2016金华)24.(本题12分)
在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(-6,0).如图1,正方形OBCD的顶点Bx轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG.
(1)如图2,若α=60°,OE=OA,求直线EF的函数表达式.
(2)若α为锐角,17教育网:www.17jiaoyu.com ,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积.
17教育网:www.17jiaoyu.com (3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,△OEP的其中两边之比能否为17教育网:www.17jiaoyu.com ?若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由.


答案解析
24.(本题12分)
(1)如图1,过点EEHOA于点HEFy轴的交点为M.
OEOAα=60°,∴△AEO为正三角形,
OH=3,EH
∵∠AOM=90°,∴∠EOM=30°.
在Rt△EOM中,

M(0, ).
设直线EF的函数表达式为ykx

17教育网:www.17jiaoyu.com 所以,直线EF的函数表达式为17教育网:www.17jiaoyu.com . (2)如图2,射线OQOA的夹角为α( α为锐角,17教育网:www.17jiaoyu.com ).
无论正方形边长为多少,绕点O旋转角α后得到正方
OEFG的顶点E在射线OQ上,
∴当AEOQ时,线段AE的长最小.
在Rt△AOE中,设AEa,则OE=2a

(3)设正方形边长为m.
当点F落在y轴正半轴时.
如图3,当PF重合时,△PEO是等腰直角三角形,有17教育网:www.17jiaoyu.com17教育网:www.17jiaoyu.com .
在Rt△AOP中,∠APO=45°,OP=OA=6,
17教育网:www.17jiaoyu.com ∴点P1的坐标为(0,6).       在图3的基础上,当减小正方形边长时,点P在边FG 上,△OEP的其中两边之比不可能为17教育网:www.17jiaoyu.com ;当增加正方形边长时,存在17教育网:www.17jiaoyu.com (图4)和17教育网:www.17jiaoyu.com (图5)两种情况.


EOPH,∴△AOE∽△AHP,∴17教育网:www.17jiaoyu.com ,
17教育网:www.17jiaoyu.comAH=4OA=24,即OH=18,∴17教育网:www.17jiaoyu.com .
在等腰Rt△PR H中,17教育网:www.17jiaoyu.com
OR=RH-OH=18,
∴点P3的坐标为(-18,36).
当点F落在y轴负半轴时,

∴点P4的坐标为(-6,0).
在图6的基础上,当正方形边长减小时,△OEP的其中
两边之比不可能为17教育网:www.17jiaoyu.com ;当正方形边长增加时,存在17教育网:www.17jiaoyu.com (图7)这一种情况.
如图7,过PPRx轴于点R,设PG=n.
17教育网:www.17jiaoyu.com 在Rt△OPG中,PO2=PG2+OG2=n2+m2,
在Rt△PEF中,PE2=PF2+FE2=(m+n ) 2+m2=2m2+2mnn 2.

∴2m2+2mnn 2=2n2+2m2 ∴n=2m,
由于NG=OG=m,则PN=NG=m,
OEPN,∴△AOE∽△ANP, ∴17教育网:www.17jiaoyu.com ,
AN=OA=6.
在等腰Rt△ONG中,17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴17教育网:www.17jiaoyu.com , ∴17教育网:www.17jiaoyu.com ,
在等腰Rt△PRN中,17教育网:www.17jiaoyu.com
∴点P5的坐标为(-18,6).
所以,△OEP的其中两边的比能为17教育网:www.17jiaoyu.com ,点P的坐标是:P1(0,6),P2(-6,18),
P3(-18,36),P4(-6,0),P5(-18,6).

来源试卷
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